Toán Lớp 9: Tính các tỉ số lượng giác của góc `15^0`

Question

Toán Lớp 9:  Tính các tỉ số lượng giác của góc 15^0

ankim · Answer

Giải đáp:       Lời giải và giải thích chi tiết:   Vẽ $&Delta;ABC$ vu&ocirc;ng tại $A$ c&oacute; $&ang;B = 30^{0} &rArr; &Delta;ABC $ l&agrave; nửa $&Delta;$ đều   Kh&ocirc;ng mất t&iacute;nh tổng qu&aacute;t đặt $AB = 1; AC = x &rArr; BC = 2AC = 2x$   &Aacute;p dụng Py ta go $: BC&sup2; = AB&sup2; + AC&sup2;$   $ &hArr; 4x&sup2; = 1 + x&sup2; &hArr; 3x&sup2; = 1 &hArr; x =  dfrac{1}{ sqrt{3}}$   Vẽ ph&acirc;n gi&aacute;c $BD (D&isin;AC) &rArr; &ang;ABD = 15^{0}$.   Theo t&iacute;nh chất ph&acirc;n gi&aacute;c v&agrave; t&iacute;nh chất d&atilde;y tỷ số bằng nhau ta c&oacute;:   $ cot15^{0} = cot&ang;ABD =  dfrac{AB}{AD} =  dfrac{BC}{DC} $   $ =  dfrac{AB + BC}{AC + DC} =  dfrac{AB + BC}{AC} =  dfrac{1}{x} + 2 = 2 +  sqrt{3}$   $ tan15^{0} =  dfrac{1}{cot15^{0}} =  dfrac{1}{2 +  sqrt{3}} = 2 -  sqrt{3}$   $ sin&sup2;15^{0} + cos&sup2;15^{0} = 1 &hArr; 1 +  dfrac{cos&sup2;15^{0}}{sin&sup2;15^{0}} =  dfrac{1}{sin&sup2;15^{0}}$   $ &rArr;  dfrac{1}{sin&sup2;15^{0}} = 1 + cot&sup2;15^{0} = 1 + (2 +  sqrt{3})&sup2; = 4(2 +  sqrt{3}) $   $ &rArr; sin&sup2;15^{0}=  dfrac{1}{4(2 +  sqrt{3})} =  dfrac{2 -  sqrt{3}}{4}$   $ =  dfrac{8 - 4 sqrt{3}}{16} = ( dfrac{ sqrt{6} -  sqrt{2}}{4})&sup2; &rArr; sin15^{0} =  dfrac{ sqrt{6} -  sqrt{2}}{4}$   $ &rArr; cos&sup2;15^{0} = 1 - sin&sup2;15^{0} = 1 -  dfrac{2 -  sqrt{3}}{4} =  dfrac{2 +  sqrt{3}}{4} $   $  dfrac{8 + 4 sqrt{3}}{16} = ( dfrac{ sqrt{6} +  sqrt{2}}{4})&sup2; &rArr; cos15^{0} =  dfrac{ sqrt{6} +  sqrt{2}}{4}$