Toán Lớp 8: Cho a+b+c=0 CMR: ($a^{2}$+ $b^{2}$ +$c^{2}$)^2=2( ($a^{4}$+ $b^{4}$ +$c^{4}$)

Question

Toán Lớp 8:  Cho a+b+c=0 CMR: ($a^{2}$+ $b^{2}$ +$c^{2}$)^2=2( ($a^{4}$+ $b^{4}$ +$c^{4}$)

cattien · Answer

Giải đáp:    a+b+c=0=>{(a=-(b+c)),(b=-(a+c)),(c=-(a+b)):}   X&eacute;t c&aacute;c gi&aacute; trị sau:   +)a^4=a^2 .a^2=a^2(b+c)^2=a^2(b^2+2bc+c^2)   =a^2b^2+2a^2bc+a^2c^2(1)   +)b^4=b^2 .b^2=b^2(a+c)^2=b^2(a^2+2ac+c^2)   =a^2b^2+2b^2ac+b^2c^2(2)   +)c^4=c^2 .c^2=c^2(a+b)^2=c^2(a^2+2ab+b^2)   =c^2a^2+2c^2ab+c^2b^2(3)   Cộng vế với vế của(1),(2) v&agrave; (3) ta được:   a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2(a^2bc+ab^2c+abc^2)   =2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+2abc(a+b+c)   =2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(4)   Từ vế phải của đẳng thức ta c&oacute;:   (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(5)   Từ (4) v&agrave; (5) suy ra:   a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)   Từ đ&oacute; suy ra:   (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4=2(a^4+b^4+c^4)   => đpcm