Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Giúp mình với Cho tạm giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ đường cao BE và CF cắt nhau tại H. 1) Chứng minh HE.HB = HF HC và góc BEF = góc BCF

Tháng Một 15, 2023 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 8: Giúp mình với
Cho tạm giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
1) Chứng minh HE.HB = HF HC và góc BEF = góc BCF
2) Gọi K là giao điểm của AH và BC. a) Chứng minh: 2.(AE.AC + CK.CB + BF.BA) = AB^2 + BC^2+ CA^2
3) Gọi tia EF cắt AK tại J.
a) Chứng minh HJ/AJ = HK/AK
b) Chứng minh 2/KJ = 1/KH+1/AK
4) Tính giá trị S= HK/AK+HE/BE+HF/AF
5) Giả sử BC = a không đổi. Xác định dạng của tam giác ABC để KH. KA đạt giá trị lớn nhất.

Comments ( 1 )

  1. maianhtuanh
    maianhtuanh
    15 Tháng Một, 2023 at 10:47 sáng
    Reply
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    1.Xét $\Delta HEC,\Delta HBF$ có:
    $\widehat{EHC}=\widehat{FHB}$
    $\widehat{HEC}=\widehat{HFB}(=90^o)$
    $\to\Delta HEC\sim\Delta HFB(g.g)$
    $\to\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{HC}{HB}$
    $\to HE.HB=HF.HC$
    $\to\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{HF}{HB}$
    Mà $\widehat{FHE}=\widehat{BHC}$
    $\to\Delta HEF\sim\Delta HCB(c.g.c)$
    $\to\widehat{HEF}=\widehat{HCB}$
    $\to\widehat{BEF}=\widehat{BCF}$
    2.Ta có $BE\perp AC, CF\perp AB, BE\cap CH=H$
    $\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC\to AK\perp BC$
    Xét $\Delta BKA,\Delta BFC$ có:
    Chung $\hat B$
    $\widehat{BKA}=\widehat{BFC}(=90^o)$
    $\to\Delta BKA\sim\Delta BFC(g.g)$
    $\to\dfrac{BK}{BF}=\dfrac{BA}{BC}$
    $\to BK.BC=BF.BA$
    Tương tự $CE.CA=CK.CB, AE.AC=AF.AB$
    Ta có:
    $2(AE.AC+CK.CB+BF.BA)$
    $=(AE.AC+CK.CB)+(AE.AC+BF.BA)+(CK.CB+BF.BA)$
    $=(AE.AC+CE.CA)+(AF.AB+BF.BA)+(CK.CB+BK.BC)$
    $=AC^2+AB^2+BC^2$
    $\to đpcm$
    3.Xét $\Delta BHK,\Delta BEC$ có:
    Chung $\hat B$
    $\widehat{BKH}=\widehat{BEC}(=90^o)$
    $\to\Delta BHK\sim\Delta BCE(g.g)$
    $\to\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BE}$
    $\to\dfrac{BH}{BK}=\dfrac{BC}{BE}$
    Mà $\widehat{EBK}=\widehat{HBC}$
    $\to\Delta BKE\sim\Delta BHC(c.g.c)$
    $\to\widehat{BEK}=\widehat{BCH}=\widehat{BCF}=\widehat{BEF}$
    $\to EH$ là phân giác $\widehat{JEK}$
    Mà $EA\perp EH$
    $\to EA$ là phân giác ngoài tại đỉnh $E$ của $\Delta EJK$
    $\to \dfrac{HJ}{HK}=\dfrac{AJ}{AK}$
    $\to\dfrac{HJ}{AJ}=\dfrac{HK}{AK}$
    3b.Ta cần chứng minh:
    $\dfrac{2}{KJ}=\dfrac1{KH}+\dfrac1{AK}$
    $\leftrightarrow \dfrac{2}{KJ}=\dfrac1{KH}+\dfrac1{AK}$
    $\leftrightarrow \dfrac{1}{KJ}-\dfrac1{AK}=\dfrac1{KH}-\dfrac{1}{KJ}$
    $\leftrightarrow \dfrac{AK-KJ}{KJ\cdot AK}=\dfrac{KJ-KH}{KJ\cdot KH}$
    $\leftrightarrow \dfrac{AJ}{KJ\cdot AK}=\dfrac{HJ}{KJ\cdot KH}$
    $\leftrightarrow \dfrac{AJ}{ AK}=\dfrac{HJ}{KH}$ luôn đúng vì $\dfrac{HJ}{AJ}=\dfrac{HK}{AK}$
    $\to đpcm$
    4.Ta có:
    $\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}$
    $\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}$
    $\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{AHB}}{S_{ABC}}$
    $\to \dfrac{HK}{AK}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1$
    5.Xét $\Delta KHB,\Delta KAC$ có:
    $\widehat{HKB}=\widehat{AKC}(=90^o)$
    $\widehat{BHK}=90^o-\widehat{HBK}=90^o-\widehat{EBC}=\widehat{ECB}=\widehat{ACK}$
    $\to\Delta KBH\sim\Delta KAC(g.g)$
    $\to\dfrac{KB}{KA}=\dfrac{KH}{KC}$
    $\to  KH.KA=KB.KC\le\dfrac14(KB+KC)^2=\dfrac14BC^2=\dfrac14a^2$
    Dấu = xảy ra khi $KB=KC\to K$ là trung điểm $BC\to AK\perp BC$ tại trung điểm $BC$
    $\to\Delta ABC$ cân tại $A$

    toan-lop-8-giup-minh-voi-cho-tam-giac-abc-co-ba-goc-nhon-ke-duong-cao-be-va-cf-cat-nhau-tai-h-1

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Kỳ Anh

About Kỳ Anh