Toán Lớp 9: cho x y z là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN V=x^2/ x+ y^2 + y^2 / y+ z^2 + z^2 / z + x^2

Question

Toán Lớp 9:  cho x y z là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN V=x^2/ x+ y^2 + y^2  / y+ z^2 + z^2 / z + x^2

ngoclanquynh · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:   Sửa đề: $x,y,z >0$ v&agrave; $x+y+z=3$   CMR: $P= frac{x^2}{x+y^2}+ frac{y^2}{y+z^2}+ frac{z^2}{z+x^2}$   Ta c&oacute;: $x+y+z=3&hArr;0&le;x,y,z<3$   Do vai tr&ograve; của $x,y,z$ l&agrave; b&igrave;nh đẳng.   Giả sử: $0&le;x,y,z&le;1$   Ta c&oacute;: $ frac{x^2}{x+y^2}=x- frac{y^2}{x+y^2}&ge;x- frac{y^2}{2.y&radic;x}=x- frac{y}{2&radic;x} $    Chứng minh tương tự:    $&rArr; frac{y^2}{y+z^2}&ge;y- frac{z}{2&radic;y} $   $&rArr; frac{z^2}{z+x^2}&ge;z- frac{x}{2&radic;z} $   Cộng 3 vế với nhau ta thu được: $P&ge;(x+y+z)-( frac{y}{2&radic;x}+ frac{z}{2&radic;y}+ frac{x}{2&radic;z})$   $&hArr;P&ge;3-( frac{y}{2&radic;x}+ frac{z}{2&radic;y}+ frac{x}{2&radic;z})$   $&hArr;P&ge;3-( frac{x&radic;x.&radic;y+y&radic;y.&radic;z+z&radic;z.&radic;x}{2. sqrt[]{xyz} })$   Cần chứng minh: $x sqrt[]{x.y}+y sqrt[]{y.z}+z sqrt[]{z.x}&le;x+y+z=3$   $&hArr;x(1- sqrt[]{x.y})+y(1- sqrt[]{y.z})+z(1- sqrt[]{z.x})&ge;0$ (Lu&ocirc;n đ&uacute;ng)   V&agrave; ta c&oacute;: $x.y.z&ge;0$   $&hArr;P&ge;3-( frac{x&radic;x.&radic;y+y&radic;y.&radic;z+z&radic;z.&radic;x}{2. sqrt[]{xyz} })&ge;3-  frac{3}{2} = frac{3}{2} $   Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$   $=>$Giả sử đ&uacute;ng $=>$ Điều phải chứng minh.