Toán Lớp 8: Cho a,b$\geq$0; a+b $\geq$ 4. CMR
a. $a^{2}$+$b^{2}$$\geq$ 8
b. $a^{4$+$b^{4}$$\geq$ 32
c. $a^{3}$+$b^{3}$$\geq$ 16
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: Cho a,b$\geq$0; a+b $\geq$ 4. CMR
a. $a^{2}$+$b^{2}$$\geq$ 8
b. $a^{4$+$b^{4}$$\geq$ 32
c. $a^{3}$+$b^{3}$$\geq$ 16
Comments ( 1 )
a) Áp dụng BĐT 2(x^2 + y^2) ≥ (x + y)², ta có:
2(a^2 + b^2) ≥ (a + b)² = 4² = 16
⇒ a^2 + b^2 ≥ 8
Dấu “=” xảy ra khi: a = b = 2
$\\$
b) Ta có:
a^4 + b^4 = (a²)² + (b²)²
Áp dụng BĐT 2(x^2 + y^2) ≥ (x + y)², ta có:
2[(a²)² + (b²)²] ≥ (a² + b²)²
Mà: a² + b² ≥ 8 $\text{(ý a)}$
⇒ 2[(a²)² + (b²)²] ≥ (a² + b²)² = 8²
⇔ (a²)² + (b²)² ≥ 32
hay: a^4 + b^4 ≥ 32
Dấu “=” xảy ra khi: a = b = 2
$\\$
c) Áp dụng BĐT $\text{Cô – si}$, ta có:
a³ + 4a ≥ 2.$\sqrt{a³ . 4a}$ = 2.$\sqrt{4a^4}$ = 2.2a² = 4a²
b³ + 4b ≥ 2.$\sqrt{b³ . 4b}$ = 2.$\sqrt{4b^4}$ = 2.2b² = 4b²
⇒ a³ + 4a + b³ + 4b ≥ 4a² + 4b²
⇔ a³ + b³ + 4(a + b) ≥ 4(a² + b²)
⇔ a³ + b³ + 4.4 ≥ 4(a² + b²)
Mà: a² + b² ≥ 8 $\text{(ý a)}$
⇒ a³ + b³ + 4.4 ≥ 4.8
⇔ a³ + b³ ≥ 16
Dấu $ = “$ xảy ra khi: $\begin{cases} a^3 = 4a\\b^3 = 4b\\ \end{cases}$
⇔a = b = 2