Toán Lớp 9: cho a+b+c ≤3/2 Tìm GTNN của B=a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c

Question

Toán Lớp 9:  cho a+b+c ≤3/2 Tìm GTNN của B=a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c

thuminhthong · Answer

Giải đáp:   B_{min}={27}/4 khi a=b=c=1/2    Lời giải và giải thích chi tiết:   Điều kiện a;b;c>0   Ta c&oacute;:   B=a^2+b^2+c^2 +1/a+1/b+1/c   =a^2+b^2+c^2+1/{8a}+1/{8a}+1/{8b}+1/{8b}+1/{8c}+1/{8c}+3/4 .(1/a+1/b+1/c)   &Aacute;p dụng BĐT Cosi với c&aacute;c số dương ta c&oacute;:   $a^2+ dfrac{1}{8a}+ dfrac{1}{8a} ge 3 sqrt[3]{a^2 . dfrac{1}{8a}. dfrac{1}{8a}}= dfrac{3}{4}$   Tương tự:    b^2+1/{8b}+1/{8b} ge 3/4   c^2+1/{8c}+1/{8c} ge 3/4   $  $   $a+b+c ge 3 sqrt[3]{abc}$   $ dfrac{1}{a}+ dfrac{1}{b}+ dfrac{1}{c} ge 3 sqrt[3]{ dfrac{1}{a}. dfrac{1}{b}. dfrac{1}{c}}=3 sqrt[3]{ dfrac{1}{abc}}$   =>(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ge $9 sqrt[3]{abc.  dfrac{1}{abc}}=9$   =>1/a+1/b+1/c ge 9/{a+b+c}   V&igrave; a+b+c le 3/2=>1/{a+b+c} ge 2/3   =>1/a+1/b+1/c ge 9. 2/3=6   $  $   =>(a^2+1/{8a}+1/{8a})+(b^2+1/{8b}+1/{8b})+(c^2+1/{8c}+1/{8c})+3/4 .(1/a+1/b+1/c)    ge 3/4+3/4+3/4+3/4. 6={27}/4   =>B ge {27}/4   Dấu '=' xảy ra khi:   $ quad  begin{cases}a^2= dfrac{1}{8a}  b^2= dfrac{1}{8b}  c^2= dfrac{1}{8c}  a+b+c= dfrac{3}{2} end{cases}$=>$ begin{cases}a^3= dfrac{1}{8}  b^3= dfrac{1}{8}  c^3= dfrac{1}{8}  a+b+c= dfrac{3}{2} end{cases}$   =>a=b=c=1/2 (thỏa m&atilde;n)   Vậy $GTNN$ của $B$ bằng {27}/4 khi a=b=c=1/2