Toán Lớp 9: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O).Gọi M là điểm thuộc BC sao cho đường trung trực của MB cắt AB tại H, đường trung trực của MC cắt AC

Question

Toán Lớp 9:  Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O).Gọi M là điểm thuộc BC sao cho đường trung trực của MB cắt AB tại H, đường trung trực của MC cắt AC tại K. Chứng minh A,H,O,K thuộc 1 đường tròn

tuyen98 · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:

Không mất tính tổng quát giả thiết $AB < AC$

Qua $M$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$
cắt $AB; AC$ theo thứ tự tại $N;P$ (hình)
Gọi $I;J$ là trung điểm $AB; AC$. Ta có:

$AN = BN – AB = 2BH – 2BI = 2(BH – BI) = 2IH$
Tương tự $ : AP = 2JK$
Mà góc $NBM = \dfrac{AOC}{2}$ (góc nội tiếp = 1/2 góc ở tâm)

$ = AOJ $
$ => $ tam giác vuông $ NBM $ đồng dạng tam giác vuông $AOJ$
$ => $ góc $ANP = BNM = OAJ = OIJ (1)$ (do $AIOJ nt$)

Lại có góc $ NAP = IOJ (2)$ (cùng bù với $BAC)$

$ (1); (2) => $ tam giác $OIJ $ đồng dạng $ANP (g.g)$

$ => \dfrac{OI}{OJ} = \dfrac{AN}{AP} = \dfrac{2IH}{2JK} = \dfrac{IH}{JK} $
$ => $ tam giác vuông $OIH$ đồng dạng $OJK$
$ => $ góc $OHI = OKJ => AHOK nt (đpcm)$

toan-lop-9-cho-tam-giac-nhon-abc-noi-tiep-o-goi-m-la-diem-thuoc-bc-sao-cho-duong-trung-truc-cua