Toán Lớp 9: Tìm GTNN của biểu thức (7x+7)/(√x+3) với x ≥ 0, x ≠ 9.

Question

Toán Lớp 9:  Tìm GTNN của biểu thức (7x+7)/(√x+3) với x ≥ 0, x ≠ 9.

thucquyenlan · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:   Đặt: $y= frac{7x+7}{ sqrt[]{x}+3}$   Đk: $x&ge;0 ; x  neq 0$     $&hArr;y. sqrt[]{x}+3y=7x+7$   $&hArr;7x-y. sqrt[]{x}-3y+7=0$   $&hArr;7 sqrt[]{x}^2-y. sqrt[]{x}-3y+7=0$   $&Delta;=b^2-4ac =y^2-4.7.(-3y+7) = y^2+84y-196$   Để phương tr&igrave;nh lu&ocirc;n c&oacute; nghiệm th&igrave;: $&Delta;&ge;0$   $&hArr;y^2+84y-196 &ge;0 &hArr;$  ( left[  begin{array}{l}y&le;-42-14 sqrt[]{10}   y&ge;-42+14 sqrt[]{10}$  end{array}  right. )    Vậy gi&aacute; trị nhỏ nhất của biểu thức l&agrave; $-42+14 sqrt[]{10}$   Dấu bằng xảy ra khi: $y=-42+14 sqrt[]{10}$   $&hArr; frac{7x+7}{ sqrt[]{x}+3}=-42+14 sqrt[]{10}$   $&hArr;x=( sqrt[]{10}-3)^2$

ngocle44 · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:   $ dfrac{7x+7}{ sqrt{x}+3}  = dfrac{7(x+1)}{ sqrt{x}+3}  = dfrac{7(x-9+10)}{ sqrt{x}+3}  =7. dfrac{( sqrt{x}-3)( sqrt{x}+3)+10}{ sqrt{x}+3}  =7 left( sqrt{x}-3+ dfrac{10}{ sqrt{x}+3} right)  =7 left( sqrt{x}+3+ dfrac{10}{ sqrt{x}+3}-6 right) ge7 left(2 sqrt{10}-6 right)(cosi)$   Dấu '=' xảy ra khi $ sqrt{x}+3= dfrac{10}{ sqrt{x}+3}   leftrightarrow ( sqrt{x}+3)^2=10   leftrightarrow  sqrt{x}+3= sqrt{10}   leftrightarrow  sqrt{x}= sqrt{10}-3   leftrightarrow x=( sqrt{10}-3)^2$   Vậy $Min left { dfrac{7x+7}{ sqrt{x}+3} right }=7(2 sqrt{10}-6) leftrightarrow x=( sqrt{10}-3)^2$