Toán Lớp 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: -x^2 – y^2 – xy + 2x + 3y
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: -x^2 – y^2 – xy + 2x + 3y
Comments ( 2 )
-x^2-y^2 – xy +2x+3y
= -(x^2+y^2+xy -2x-3y)
= -1/4 (4x^2+4y^2+4xy – 8x – 12y)
= -1/4 [(2x^2 +4xy+y^2) – 4(2x + y) + 3(y^2 -2 . y . 4/3 + 16/9) -16/3]
= -1/4 [(2x+y)^2 – 2(2x+y).2+2^2 +3(y-4/3)^2 – 28/3]
= -1/4 (2x+y – 2)^2 – 3/4 (y-4/3)^2 + 7/3 \le 7/3 với mọi x,y
Dấu “=” xảy ra khi :
2x+y-2=0,y-4/3=0
<=>2x+y=2, y=4/3
<=>x=1/3,y=4/3
Vậy GTLN của BT là 7/3<=>(x;y)=(1/3;4/3)
Giải đáp:
$max_A=\dfrac{7}{3}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3} \\y=\dfrac{4}{3} \end{array} \right..$
Lời giải và giải thích chi tiết:
$A=-x^2 – y^2 – xy + 2x + 3y\\ =-\dfrac{1}{4}\left(4x^2 +4 y^2 +4 xy -8x -12y\right)\\ =-\dfrac{1}{4}\left(4x^2 +4 xy+y^2+3 y^2 -8x -12y\right)\\ =-\dfrac{1}{4}\left((2x+y)^2+3 y^2 -8x -12y\right)\\ =-\dfrac{1}{4}\left((2x+y)^2-8x-4y +4 +3 y^2-8y -4\right)\\ =-\dfrac{1}{4}\left((2x+y)^2-4(2x+y) +4 +3 \left(y^2-\dfrac{8}{3}y +\dfrac{16}{9}\right)-\dfrac{28}{3}\right)\\ =-\dfrac{1}{4}\left((2x+y-2)^2+3 \left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2-\dfrac{28}{3}\right)\\ =-\dfrac{1}{4}(2x+y-2)^2-\dfrac{3}{4} \left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2+\dfrac{7}{3} \ge \dfrac{7}{3} \ \forall \ x,y$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2x+y-2=0 \\y-\dfrac{4}{3}=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3} \\y=\dfrac{4}{3} \end{array} \right.$
Vậy $max_A=\dfrac{7}{3}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3} \\y=\dfrac{4}{3} \end{array} \right..$