Toán Lớp 9: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên phân biệt a, b, c sao cho P(a) = b, P(b) = c, P(c) =

Question

Toán Lớp 9:  Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên phân biệt a, b, c sao cho P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a. tks

tuyen98 · Answer

Giải đáp + giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:     Ta sẽ chứng minh t&iacute;nh chất f(a)-f(b) vdots (a-b) với f(x) l&agrave; đa thức c&oacute; hệ số nguy&ecirc;n.   f(x)=m_1.x^n+m_2.x^(n-1)+...+m_n.x+d   f(a)=m_1.a^n+m_2.a^(n-1)+...+m_n.a+d   f(b)=m_1.b^m+m_2.b^(n-1)+...+m_n.b+d   ->f(a)-f(b)=m_1.a^n+m_2.a^(n-1)+...+m_n.a+d-(m_1.b^m+m_2.b^(n-1)+...+m_n.b+d)=m_1(a^n-b^n)+m_2(a^(n-1)+b^(n-1))+...+m_n(a-b)    m&agrave; a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+a^{k-3}b^2+ ldots+a^2b^{k-3}+ab^{k-2}+b^{k-1}) vdots(a-b)&forall;k&isin;N   ->đpcm   Quay lại b&agrave;i to&aacute;n, giả sử a>=b>=c   &Aacute;p dụng t&iacute;nh chất vừa chứng minh, ta c&oacute;: $ begin{cases} a-b=P(c)-P(a) vdots (c-a)  to a-b ge c-a    c-a=P(b)-P(c) vdots (b-c)  to c-a ge b-c    b-c = P(a)-P(b)  vdots (a-b)  to b-c  ge a-b  end{cases}    to a-b=b-c=c-a    to a=b=c $   m&agrave; a,b,c ph&acirc;n biệt n&ecirc;n kh&ocirc;ng tồn tại a,b,c