Toán Lớp 9: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lần lượt tại M và

Question

Toán Lớp 9:  Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Kẻ đường cao AH của ΔABC . Cmr tia HA là tia phân giác của góc MHN

ankim · Answer

Vẽ $MP;NQ perp BC$ lần lượt tại $P;Q$    =>MP//$AH$//$NQ$     =>{MA}/{NA}={PH}/{QH} $(1)$    $  $    X&eacute;t $∆OBC$ c&oacute; $OB=OC=R$   =>∆OBC c&acirc;n tại $O$   => hat{OBC}= hat{OCB}   Ta c&oacute;:    hat{MBP}+90&deg;+ hat{OBC}= hat{NCQ}+90&deg;+ hat{OCB}   => hat{MBP}= hat{NCQ}   $  $   &Aacute;p dụng t&iacute;nh chất hai tiếp tuyến cắt nhau    =>MA=MB; NA=NC   $  $   X&eacute;t $∆MPB$ v&agrave; $∆NQC$ c&oacute;:    qquad  hat{MPB}= hat{NQC}=90&deg;    qquad  hat{MBP}= hat{NCQ}   =>∆MPB∽∆NQC (g-g)   =>{MP}/{NQ}={MB}/{NC}={MA}/{NA} $(2)$   $  $   Từ (1);(2)=>{MP}/{NQ}={PH}/{QH}   $  $   X&eacute;t $∆MPH$ v&agrave; $∆NQH$ c&oacute;:     qquad  hat{MPH}= hat{NQH}=90&deg;      qquad {MP}/{NQ}={PH}/{QH} (c/m tr&ecirc;n)     =>∆MPH∽∆NQH (c-g-c)     => hat{MHP}= hat{NHQ}     =>90&deg;- hat{MHP}=90&deg;- hat{NHQ}     => hat{MHA}= hat{NHA}     M&agrave; tia $HA$ nằm giữa hai tia $HM$ v&agrave; $HN$     =>HA l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của  hat{MHN} (đpcm)