Toán Lớp 10: Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng

Question

Toán Lớp 10: Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng

Phương Tháng Mười Một 17, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 10: Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh ED = 1/2 BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.

phuongthaongoc · Answer

1. X&eacute;t tứ gi&aacute;c CEHD ta c&oacute;:   g&oacute;c CEH = 90 0  (V&igrave; BE l&agrave; đường cao)   g&oacute;c CDH = 90 0  (V&igrave; AD l&agrave; đường cao)   => g&oacute;c CEH + g&oacute;c CDH = 180 0    M&agrave; g&oacute;c CEH v&agrave; g&oacute;c CDH l&agrave; hai g&oacute;c đối của tứ gi&aacute;c CEHD. Do đ&oacute; CEHD l&agrave; tứ gi&aacute;c nội tiếp   2. Theo giả thiết: BE l&agrave; đường cao => BE ┴ AC => g&oacute;c BEA = 90 0 .   AD l&agrave; đường cao => AD ┴ BC => BDA = 90 0 .   Như vậy E v&agrave; D c&ugrave;ng nh&igrave;n AB dưới một g&oacute;c 90 0  => E v&agrave; D c&ugrave;ng nằm tr&ecirc;n đường tr&ograve;n đường k&iacute;nh AB.   Vậy bốn điểm A, E, D, B c&ugrave;ng nằm tr&ecirc;n một đường tr&ograve;n.   3.   Theo giả thiết tam gi&aacute;c ABC c&acirc;n tại A c&oacute; AD l&agrave; đường cao n&ecirc;n cũng l&agrave; đường trung tuyến   => D l&agrave; trung điểm của BC. Theo tr&ecirc;n ta c&oacute; g&oacute;c BEC = 90 0 .   Vậy tam gi&aacute;c BEC vu&ocirc;ng tại E c&oacute; ED l&agrave; trung tuyến => DE = 1/2 BC.   4. V&igrave; O l&agrave; t&acirc;m đường tr&ograve;n ngoại tiếp tam gi&aacute;c AHE n&ecirc;n O l&agrave; trung điểm của AH => OA = OE => tam gi&aacute;c AOE c&acirc;n tại O => g&oacute;c E 1  = g&oacute;c A 1  (1).   Theo tr&ecirc;n DE = 1/2 BC => tam gi&aacute;c DBE c&acirc;n tại D => g&oacute;c E 3  = g&oacute;c B 1  (2)   M&agrave; g&oacute;c B 1  = g&oacute;c A 1  (v&igrave; c&ugrave;ng phụ với g&oacute;c ACB) => g&oacute;c E 1  = g&oacute;c E 3  => g&oacute;c E 1  + g&oacute;c E 2  = g&oacute;c E 2  + g&oacute;c E 3    M&agrave; g&oacute;c E 1  + g&oacute;c E 2  = g&oacute;c BEA = 90 0  => g&oacute;c E 2  + g&oacute;c E 3  = 90 0  = g&oacute;c OED => DE ┴ OE tại E.   Vậy DE l&agrave; tiếp tuyến của đường tr&ograve;n (O) tại E.   5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. &Aacute;p dụng định l&iacute; Pitago cho tam gi&aacute;c OED vu&ocirc;ng tại E ta c&oacute; ED 2  = OD 2  &ndash; OE 2  &harr; ED 2  = 5 2  &ndash; 3 2  &harr; ED = 4cm   Theo giả thiết tam gi&aacute;c ABC c&acirc;n tại A c&oacute; AD l&agrave; đường cao n&ecirc;n cũng l&agrave; đường trung tuyến   => D l&agrave; trung điểm của BC. Theo tr&ecirc;n ta c&oacute; g&oacute;c BEC = 90 0 .   Vậy tam gi&aacute;c BEC vu&ocirc;ng tại E c&oacute; ED l&agrave; trung tuyến => DE = 1/2 BC.