Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Cho tam giác nhọn `ABC` có các đường cao `AD ; BE ; CF` cắt nhau tại `H`. CM : `(AD)/(HD) + (BE)/(HE) + (CF)/(HF) >= 9`

Home/ Toán Lớp 9: Cho tam giác nhọn `ABC` có các đường cao `AD ; BE ; CF` cắt nhau tại `H`. CM : `(AD)/(HD) + (BE)/(HE) + (CF)/(HF) >= 9`

Toán Lớp 9: Cho tam giác nhọn `ABC` có các đường cao `AD ; BE ; CF` cắt nhau tại `H`. CM : `(AD)/(HD) + (BE)/(HE) + (CF)/(HF) >= 9`

Tháng Mười Một 12, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD ; BE ; CF cắt nhau tại H.
CM : (AD)/(HD) + (BE)/(HE) + (CF)/(HF) >= 9

Comments ( 2 )

  1. mytamhoang
    mytamhoang
    12 Tháng Mười Một, 2022 at 3:02 sáng
    Reply
    Thấy các tam giác $HDB;ADB$ chung đáy $DB$
    nên $\dfrac{S_{ADB}}{S_{HDB}}=\dfrac{AD}{HD}$
    tương tự $\dfrac{S_{ADC}}{S_{HDC}}=\dfrac{AD}{HD}$
    Nên $\dfrac{S_{ADB}}{S_{HDB}}=\dfrac{S_{ADC}}{S_{HDC}}=\dfrac{S_{ADB}+S_{ADC}}{S_{HDB}+S_{HDC}}$
    Hay $\dfrac{AD}{HD}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{BHC}}$
    Hoàn toàn tương tự ta có:
    $\dfrac{BE}{HE}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{CHA}}$
    $\dfrac{CF}{HF}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{AHB}}$
    Vì vậy 
    $\dfrac{AD}{HD}+\dfrac{BE}{HE}+\dfrac{CF}{HF}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{BHC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{CHA}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{AHB}}=S_{ABC}.(\dfrac{1}{S_{BHC}}+\dfrac{1}{S_{CHA}}+\dfrac{1}{S_{AHB}})$
    Đặt $S_{BHC}=a;S_{CHA}=b;S_{AHB}=c⇒S_{ABC}=a+b+c$
    Ta có $\dfrac{AD}{HD}+\dfrac{BE}{HE}+\dfrac{CF}{HF}=(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$
    Thấy $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}$
    Áp dụng bđt Cô si có : $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}≥3+2.\sqrt[]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2.\sqrt[]{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}}+2.\sqrt[]{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=3+2+2+2=9$
    Nên ta có đpcm
     

  2. khanhngantoan
    khanhngantoan
    12 Tháng Mười Một, 2022 at 3:01 sáng
    Reply
    hơi tắt xíu nha mà dễ hiểu lắm :
    ta có :
    (HD)/(AD)+(HE)/(BE)+(HF)/(CF)
    =(HD.BC)/(AD.BC)+(AC.HE)/(AC.BE)+(AB.HF)/(AB.CF)
    =(2SBHC)/(2SABC)+(2SAHC)/(2SABC)+(2SAHF)/(2SABC)
    =(2SBHC+2SAHC+2SAHF)/(2SABC)
    =(2SABC)/(2SABC)
    =1
    mặt khác
    ((HD)/(AD)+(HE)/(BE)+(HF)/(CF)).((AD)/(HD)+(BE)/(HE)+(CF)/(HF))≥9
    ⇔(AD)/(HD)+(BE)/(HE)+(CF)/(HF)≥9/((HD)/(AD)+(HE)/(BE)+(HF)/(CF))
    ⇔(AD)/(HD)+(BE)/(HE)+(CF)/(HF)≥9/1
    ⇔(AD)/(HD)+(BE)/(HE)+(CF)/(HF)≥9 (ĐPCM)

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Nguyệt

About Nguyệt