Toán Lớp 8: cho n thuộc z CMR n mũ 5 -n chia hết cho5 help me

Question

Toán Lớp 8:  cho n thuộc z CMR n mũ 5 -n chia hết cho5 help me

ngocbichchau · Answer

$ text{n ⁵-n }$           $ text{=n.(n⁴ -1)}$           $ text{=n.(n&sup2;-1).(n&sup2;+1)}$           $ text{=n.(n-1).(n+1).(n&sup2;-4+5)}$           $ text{=n.(n-1).(n+1).(n&sup2;-4)+5.(n-1).n.(n+1)}$           $ text{=(n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2)+5.(n-1).n.(n+1)}$           $ text{V&igrave; n&isin; Z n&ecirc;n n-2 ;n-1 ;n;n+1;n+2 l&agrave; 5 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp}$           $ text{&rArr;(n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2) chia hết cho 5}$           $ text{M&agrave; 5.(n-1).n.(n+1) chia hết cho 5}$           $ text{&rArr;(n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2)+5.(n-1).n.(n+1) chia hết cho 5}$           $ text{Hay n⁵-n chia hết cho 5 (dpcm) }$

huenthanh97 · Answer

n^5 - n    = n(n^4 - 1)   = n(n^2 - 1)(n^2 + 1)   = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)   = n(n - 1)(n + 1)(n^2 - 4 + 5)   = (n^2 - 4) . n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1)   = (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1)   Do  (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) text(l&agrave; t&iacute;ch của 5 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp)   &rArr; (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1)  vdots 5   Mặt   kh&aacute;c  5n(n - 1)(n + 1)  vdots 5   &rArr; (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1)  vdots 5   Vậy  n^5 - n  vdots 5 text(với mọi x &isin; Z)