Toán Lớp 9: cho tam giác `ABC `nhọn đường cao `BE.`Trên đoạn` BE `lấy điểm `H` sao cho tia `CH` vuông góc với AB. Hai đường trung tuyến `AM `và `HK

Question

Toán Lớp 9:  cho tam giác ABC nhọn đường cao BE.Trên đoạn BE lấy điểm H sao cho tia CH vuông góc với AB. Hai đường trung tuyến AM và HK của tam giác AHC cắt nhau tại I.Hai đường trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt nhau tại O . a)chứng minh rằng : tam giác AHB đồng dạng với tam giác MKO . b) chứng minh rằng :(IO^3+IK^3+IM^3)/(IB^3+IH^3+IA^3)=1/8

hoquyly · Answer

Giải đáp:   Hướng l&agrave;m như sau         Lời giải và giải thích chi tiết:     a)   Nhận thấy hai tam gi&aacute;c n&agrave;y c&oacute; c&aacute;c cặp cạnh song song   $AH//MK$, $AB//MO$, $HB//KO$   $ Rightarrow  Delta AHB backsim Delta MKO$   b)   Từ $ Delta AHB backsim Delta MKO Rightarrow  dfrac{OM}{BA}= dfrac{MK}{AH}= dfrac{1}{2}$   C&oacute; $AH//MK$ v&agrave; $AM cap HK=I$$ Rightarrow  dfrac{IK}{IH}= dfrac{IM}{IA}= dfrac{1}{2}$   X&eacute;t $ Delta MOI$ v&agrave; $ Delta ABI$c&oacute;:   $ widehat{OMI}= widehat{BAI}$(so le trong), tỉ số: $ dfrac{IM}{IA}= dfrac{OM}{BA}= dfrac{1}{2}$   $ Rightarrow  Delta MOI backsim Delta ABI Rightarrow  dfrac{IO}{IB}= dfrac{1}{2}$   Vậy ta c&oacute;: $ dfrac{IO}{IB}= dfrac{IK}{IH}= dfrac{IM}{IA}= dfrac{1}{2}$   $ Rightarrow  dfrac{I{{O}^{3}}}{I{{B}^{3}}}= dfrac{I{{K}^{3}}}{I{{H}^{3}}}= dfrac{I{{M}^{3}}}{I{{A}^{3}}}= dfrac{1}{8}$   $ Rightarrow  dfrac{I{{O}^{3}}+I{{K}^{3}}+I{{M}^{3}}}{I{{B}^{3}}+I{{H}^{3}}+I{{A}^{3}}}= dfrac{1}{8}$ (theo t/c d&atilde;y tỉ số bằng nhau)       Ngo&agrave;i ra, từ chỗ $ Delta MOI backsim Delta ABI$ c&oacute; thể suy ra $B,I,O$ thẳng h&agrave;ng