Register Now

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

Toán Lớp 9: Cho `a,b,c \ge 0 . Thoả mãn ab+bc+ac+abc=4 . Chứng minh a^{2}+b^{2}+c^{2}+5abc \ge 8`

Home/ Toán Lớp 9: Cho `a,b,c \ge 0 . Thoả mãn ab+bc+ac+abc=4 . Chứng minh a^{2}+b^{2}+c^{2}+5abc \ge 8`

Toán Lớp 9: Cho `a,b,c \ge 0 . Thoả mãn ab+bc+ac+abc=4 . Chứng minh a^{2}+b^{2}+c^{2}+5abc \ge 8`

Huyền Thư Tháng Mười Một 4, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 9: Cho a,b,c \ge 0 . Thoả mãn ab+bc+ac+abc=4 . Chứng minh a^{2}+b^{2}+c^{2}+5abc \ge 8

Comments ( 1 )

lyly98
4 Tháng Mười Một, 2022 at 4:43 chiều

Reply

Giải đáp + giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức (a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)

->ab+bc+ca<=(a+b+c)^2/3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

->abc<=(a+b+c)^3/27

Đặt a+b+c=x

->4<=x^2/3+x^3/27

->x^3+9x^2-108>=0

->x^3-3x^2+12x^2-36x+36x-108>=0

->(x^2+12x+36)(x-3)>=0

->(x+6)^2(x-3)>=0

->x>=3

Quay lại bài toán:

a^2+b^2+c^2+5abc=a^2+b^2+c^2+(9abc)/3 + (6abc)/3 >=a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)+2abc

Áp dụng bất đẳng thức Schur:

a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)+2abc>=2(ab+bc+ca)+2abc=8

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 (theo Cô-si) hoặc (a;b;c)=(0;2;2) và các hoán vị (theo Schur)

Leave a reply

About Huyền Thư