Toán Lớp 8: Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là trung điểm của BC, Qua D kẻ các đường thắng vuông góc với AB tại E và vuông góc với AC tại F. a) Tử giác AEDF là hình gi? Vi sao? b) Chứng minh tử giác BDFE là hình bình hành; c) Tam giác ABC có thêm diều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông? d) Gọi M là điểm đối xứng với D qua E và N là điểm đối xứng với D qua F. Chúng minh hai điểm M và N đoi xứng nhau qua A.
Leave a reply
Comments ( 1 )
Giải đáp:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật
b) Tứ giác BDFE là hình bình hành
c) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A
d) M và N đối xứng nhau qua A
Lời giải và giải thích chi tiết:
a)
Xét tứ giác AEDF :
$\widehat{EAF}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AED}=90^o\,\,\,(DE\bot AB)\\\widehat{AFD}=90^o\,\,\,(DF\bot AC)$
$\to$ Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
b)
Xét $\triangle ABC$:
$DE//AC\,\,\,(\bot AB)$
D là trung điểm của BC (gt)
$\to$ DE là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\to$ E là trung điểm của AB
$\to DE=\dfrac{1}{2}AC$
Chứng minh tương tự
$\to$ F là trung điểm của AC
$\to DF=\dfrac{1}{2}AB$
Xét tứ giác BDFE:
$DF//BE\,\,\,(DF//AB)\\DF=BE\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)$
$\to$ Tứ giác BDFE là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)
c)
Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (cmt)
$\to$ Tứ giác AEDF là hình vuông
$\to AE=AF\\\to \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\\\to AB=AC$
$\to\triangle ABC$ cân tại A
$\to$ Để tứ giác AEDF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A
d)
Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (cmt)
$\to DE//AF\to ME//AF, DE=AF\to ME=AF$
$\to DF//EA\to FN//EA, DF=EA\to FN=EA$
Xét tứ giác MEAF:
$ME//AF$ (cmt)
$ME=AF$ (cmt)
$\to$ Tứ giác MEAF là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)
$\to MA//EF$ (1)
$\to MA=EF$ (2)
Xét tứ giác FNEA:
$FN//EA$ (cmt)
$FN=EA$ (cmt)
$\to$ Tứ giác FNEA là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)
$\to NA//EF$ (3)
$\to NA=EF$ (4)
Từ (1), (3) $\to$ M, A, N thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)
Từ (2), (4) $\to MA=NA$
$\to$ A là trung điểm của MN
$\to$ M và N đối xứng nhau qua A