Toán Lớp 12: tìm cực trị của hàm số y=3-2cosx-cos2x

Question

Toán Lớp 12:  tìm cực trị của hàm số y=3-2cosx-cos2x

hoquyly · Answer

Giải đáp:   $ begin{cases} min y = 0 Leftrightarrow x = k2 pi   max y =  dfrac92 Leftrightarrow x = pm  dfrac{2 pi}{3} + k2 pi end{cases} quad (k in Bbb Z)$   Lời giải và giải thích chi tiết:     C&aacute;ch 1: Lớp 11     $ quad y = 3 - 2 cos x -  cos2x$   $ Leftrightarrow y = 3 - 2 cos x -(2 cos^2x - 1)$   $ Leftrightarrow y = -2 cos^2x - 2 cos x + 4$   $ Leftrightarrow y = -2 left( cos x+  dfrac12 right)^2 +  dfrac92$   Ta c&oacute;:   $ quad -1  leqslant  cos x  leqslant 1$   $ Leftrightarrow - dfrac12  leqslant  cos x +  dfrac12  leqslant  dfrac32$   $ Leftrightarrow 0  leqslant  left( cos x+  dfrac12 right)^2  leqslant  dfrac94$   $ Leftrightarrow -  dfrac92  leqslant -2 left( cos x+  dfrac12 right)^2  leqslant 0$   $ Leftrightarrow 0  leqslant -2 left( cos x+  dfrac12 right)^2 +  dfrac92  leqslant  dfrac92$   $ Leftrightarrow 0  leqslant y  leqslant  dfrac92$   Do đ&oacute;:   $ bullet quad  min y = 0$   $ Leftrightarrow  cos x = 1$   $ Leftrightarrow x = k2 pi quad (k in Bbb Z)$   $ bullet quad  max y =  dfrac92$   $ Leftrightarrow  cos x + dfrac12= 0$   $ Leftrightarrow  cos x = - dfrac12$   $ Leftrightarrow x =  pm  dfrac{2 pi}{3} + k2 pi quad (k in Bbb Z)$   Vậy $ min y = 0 Leftrightarrow x = k2 pi;   max y =  dfrac92 Leftrightarrow x = pm  dfrac{2 pi}{3} + k2 pi quad (k in Bbb Z)$     C&aacute;ch 2: Lớp 12     $ quad y = -2 cos^2x - 2 cos x + 4$   Đặt $t =  cos x quad (t in [-1;1])$   H&agrave;m số trở th&agrave;nh:   $ quad y = f(t) = -2t^2 - 2t + 4$   $ Rightarrow y' = -4t - 2$   $y' = 0  Leftrightarrow t = - dfrac12$   Bảng biến thi&ecirc;n:   $ begin{array}{|c|cr|}  hline t & -1 & &-  dfrac{1}{2} & & & 1    hline y' & & + & 0& & - &     hline &&& dfrac92   y & & nearrow& & & searrow   &4&&&&&0    hline  end{array}$   Dựa v&agrave;o bảng biến thi&ecirc;n, ta được:   $ bullet quad  min y = 0  Leftrightarrow t = 1  Leftrightarrow  cos x =1  Leftrightarrow x = k2 pi quad (k in Bbb Z)$   $ bullet quad  max y =  dfrac92 Leftrightarrow t  =- dfrac12  Leftrightarrow  cos x = -  dfrac12  Leftrightarrow x =  pm  dfrac{2 pi}{3} + k2 pi quad (k in Bbb Z)$   Vậy $ min y = 0 Leftrightarrow x = k2 pi;   max y =  dfrac92 Leftrightarrow x = pm  dfrac{2 pi}{3} + k2 pi quad (k in Bbb Z)$