Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Chứng minh bất đẳng thức: x ²/y ² + y ²/z ² + z ²/x ² ≥ x/y + y/z + z/x với x,y,z> 0 Giúp mình vs, đang gấp, hứa vote 5 sao!!!

Home/ Toán Lớp 9: Chứng minh bất đẳng thức: x ²/y ² + y ²/z ² + z ²/x ² ≥ x/y + y/z + z/x với x,y,z> 0 Giúp mình vs, đang gấp, hứa vote 5 sao!!!

Toán Lớp 9: Chứng minh bất đẳng thức: x ²/y ² + y ²/z ² + z ²/x ² ≥ x/y + y/z + z/x với x,y,z> 0 Giúp mình vs, đang gấp, hứa vote 5 sao!!!

Tháng Mười 9, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: Chứng minh bất đẳng thức: x ²/y ² + y ²/z ² + z ²/x ² ≥ x/y + y/z + z/x với x,y,z> 0
Giúp mình vs, đang gấp, hứa vote 5 sao!!!

Comments ( 2 )

  1. ngoclanquynh
    ngoclanquynh
    9 Tháng Mười, 2022 at 8:46 chiều
    Reply
    Vì $x,y,z>0$ nên áp dụng bất đẳng thức $\text{Bunyakovsky}$ và $AM-GM$ ta được:
    ${\left( {1.\dfrac{x}{y} + 1.\dfrac{y}{z} + 1.\dfrac{z}{x}} \right)^2} \le \left( {1 + 1 + 1} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}}} \right) = 3\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}}} \right)\\  \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} \ge \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right)^2}\left( 1 \right) $
    Mặt khác theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
    $\begin{array}{l}
    \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) \ge 3.\dfrac{1}{3}\sqrt[3]{{\dfrac{{xyz}}{{xyz}}}} = 1\\
     \Rightarrow \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right)^2} \ge \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}\left( 2 \right)\\
    \left( 1 \right),\left( 2 \right)\\
     \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} \ge \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}
    \end{array}$
    Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$

  2. haiyemy
    haiyemy
    9 Tháng Mười, 2022 at 8:46 chiều
    Reply
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:
    $\frac{x^2}{y^2}+1  \ge 2.\frac{x}{y}$ (1)
    $\frac{y^2}{z^2}+1  \ge 2.\frac{y}{z}$ (2)
    $\frac{z^2}{x^2}+1  \ge 2.\frac{z}{x}$ (2)
    Cộng tất cả các vế trên lại với nhau, $(1)+(2)+(3)$:
    $⇒\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \ge 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})-3$
    Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức $co-si$: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \ge 3$
    $⇒\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \ge 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})-3 \ge \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$
    ->Điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z$

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Uyên Trâm

About Uyên Trâm