Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Cho `a,b,c` là độ dài các cạnh của tam giác và `x,y,z` là độ dài các đường phân giác của tam giác đó. Chứng minh: `1/x+1/y+1/z>= 1/a+1/

Home/ Toán Lớp 9: Cho `a,b,c` là độ dài các cạnh của tam giác và `x,y,z` là độ dài các đường phân giác của tam giác đó. Chứng minh: `1/x+1/y+1/z>= 1/a+1/

Toán Lớp 9: Cho `a,b,c` là độ dài các cạnh của tam giác và `x,y,z` là độ dài các đường phân giác của tam giác đó. Chứng minh: `1/x+1/y+1/z>= 1/a+1/

Tháng Chín 22, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: Cho a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác của tam giác đó.
Chứng minh: 1/x+1/y+1/z>= 1/a+1/b+1/c

Comments ( 2 )

  1. hienchaudiem
    hienchaudiem
    22 Tháng Chín, 2022 at 1:11 chiều
    Reply
    Đặt {(BC=a),(AC=b),(AB=c),(AD=x),(BE=y),(CF=z):}
    Kẻ BM////AD\ (M∈AC)
    =>{(\hat{M}=\hat{A_1}),(\hat{B_1}=\hat{A_2}):}
    Mà \hat{A_1}=\hat{A_2} (vì AD là tia phân giác \hat{BAC})
    =>\hat{M}=\hat{B_1}
    =>\triangle ABM cân tại A
    =>AM=AB=c
    Xét \triangle AMB có: 
    BM<AM+AB (BĐT trong \triangle)
    =>BM<2c
    Xét \triangle BCM có:
    AD////BM
    =>(AD)/(BM)=(CA)/(CM) (hệ quả định lí ta lét)
    Mà {(AD=x),(CA=b),(CM=AM+AC=c+b):}
    =>(x)/(BM)=(b)/(b+c)\ (1)
    Ta có: BM<2c
    =>(x)/(BM)>(x)/(2c)\ (2)
    Từ (1) và (2)=>(b)/(b+c)>(x)/(2c)
    =>x<(2bc)/(b+c)
    =>1/x>(b+c)/(2bc)
    =>1/x>1/2(1/b+1/c)\ (3)
    Tương tự: 
    1/y>1/2(1/a+1/c)\ (4)
    1/z>1/2(1/a+1/b)\ (5)
    Cộng vế cho vế của (3);(4);(5) ta có:
    1/x+1/y+1/z>1/2(1/a+1/c+1/b+1/c+1/a+1/b)
    <=>1/x+1/y+1/z>1/2. 2(1/a+1/b+1/c)
    <=>1/x+1/y+1/z> 1/a+1/b+1/c
    => Điều phải chứng minh.

  2. lanngocha
    lanngocha
    22 Tháng Chín, 2022 at 1:10 chiều
    Reply
    Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:
    *Vẽ hình trên $GeoGebra$
    Dựng ΔABC có AB=c,AC=b,BC=a
    Gọi tia phân giác của \hat{BAC} là AD
    Từ D kẻ đường thẳng $//AD ∩$ AC={E}
    $⇒ ΔABE$ cân tại $A ⇒ AB=AE=c$
    ⇒ EC=AC+AE=b+c 
    Lại có vì $AD//BE ⇒$ Áp dụng Talet: (AD)/(BE)=(AC)/(CE)
    ⇔ x/(BE)=a/(b+c) ⇒ x=a/(b+c).BE
    Mà BE<AB+AE<2c (Bất đẳng thức ΔABE)
    ⇒ x<(2bc)/(b+c) ⇔ 1/x>1/2(1/b+1/c)
    CMTT ⇒ 1/y>1/2(1/a+1/c) ; 1/z>1/2(1/a+1/b)
    ⇒ 1/x+1/y+1/z>1/2(1/b+1/c+1/a+1/c+1/a+1/b)
    ⇔ 1/x+1/y+1/z>1/2.(2).(1/a+1/b+1/c)
    ⇔ 1/x+1/y+1/z>1/a+1/b+1/c ∀ a,b,c,x,y,z
    Vậy ta có ĐPCM

    toan-lop-9-cho-a-b-c-la-do-dai-cac-canh-cua-tam-giac-va-y-z-la-do-dai-cac-duong-phan-giac-cua-ta

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Phi Nhung

About Phi Nhung