Toán Lớp 10: Cho tam giác ABC. G là trọng tâm tam giác ABC. M, N là các điểm xác định bởi `3vec{MA}+4vec{MB}=vec{0}, vec{CN}=1/2vec{BC}.` a) CM: M,

Question

Toán Lớp 10:  Cho tam giác ABC. G là trọng tâm tam giác ABC. M, N là các điểm xác định bởi 3vec{MA}+4vec{MB}=vec{0}, vec{CN}=1/2vec{BC}. a) CM: M, N, G thẳng hàng b) Tính tỉ số diện tích mà MN chia tam giác ABC

maingoctruc · Answer

a) 3 vec{MA}+4 vec{MB}=vec{0}     Leftrightarrow 3 vec(MA) + 3 vec{MB}+  vec{MB} = vec{0}     Leftrightarrow 9 vec{MG} +  vec{MB} = 3 vec{MC}    Leftrightarrow 9 vec(MG) = 3 vec(MC) +  vec(BM)   Leftrightarrow 9 vec(MG) = 2 vec(MC) + 2 vec(CN)   Leftrightarrow 9 vec(MG) = 2 vec(MN)   -> vec(MG) v&agrave; vec(MN)   c&ugrave;ng phương      -> M,N, G thẳng h&agrave;ng.     b)      Gọi MN  cap AC = {E}     -> MN chia  DeltaABC th&agrave;nh  DeltaAEM v&agrave; tứ gi&aacute;c BMEC     ->  Đề y&ecirc;u cầu t&iacute;nh (S_(BMEC)) / (S_( DeltaAME)) = ?      Gọi MK l&agrave; đường cao  DeltaAME            BH l&agrave; đường cao của  DeltaBEC       C&aacute;ch 1:       *** Theo định l&yacute; Menelauyt với ba điểm M, N, E thẳng h&agrave;ng, ta c&oacute;:      (EC)/(EA) . (MA)/(MB) . (NB)/(NC) = 1     Leftrightarrow (EC)/(EA) . 4/3 . 3 = 1     -> (EC)/(EA) =1/ 4     Ta c&oacute;: (S_(BMEC))/(S_( DeltaAME)) = (S_( DeltaBEC)+S_( DeltaEMB) )/(S_( DeltaAME)) = (S_( DeltaBEC))/(S_( DeltaAME)) + (S_( DeltaEMB))/(S_( DeltaAME)) (***)     $ bullet  , , ,$ Ta c&oacute;: MK////BH ( botAC)     Theo hệ quả định l&yacute; Thales, ta c&oacute;: (BH)/(MK) = (AB)/(AM) = 7/4    -> (S_( DeltaBEC))/(S_(DeltaAME)) = (1/2. BH.EC)/(1/2.MK.EA) = 7/4. 1/4 = 7/16    $ bullet  , , ,$ (S_( DeltaEMB))/(S_( DeltaAME)) = (MB)/(MA) = 3/4     Thay v&agrave;o (***), ta được:      (S_(BMEC))/(S_( DeltaAME)) =(S_( DeltaBEC))/(S_( DeltaAME)) + (S_( DeltaEMB))/(S_( DeltaAME)) =  7/16 + 3/4 = 19/16     Vậy: (S_(BMEC))/(S_( DeltaAME)) = 19/16       C&aacute;ch 2:      ***Gọi F l&agrave; điểm sao cho 3/4 vec(FG) + 1/2 vec(FN) =  vec(0)   -> 3/4 vec(FG) =- 1/2 vec(FN) -> F, G, N thẳng h&agrave;ng (1)   Ta c&oacute;:  vec(AC) = 3/4 vec(AG) + 1/2 vec(AN)   ->  vec(AC) = 3/4 vec(AF) + 1/2 vec(AF) +3/4 vec(FG) + 1/2 vec(FN) = 5/4 vec(AF)   -> A, F, C thẳng h&agrave;ng. (2)   Mặt kh&aacute;c: AC  cap NG = {E} (3)    Từ (1), (2), (3) suy ra: F  equiv E   Do đ&oacute;:  vec(AC) = 5/4 vec(AE)  Leftrightarrow 1/4 vec(AE) =  vec(EC)   -> (EC)/(AE) = 1/4    Ta c&oacute;: (S_(BMEC))/(S_( DeltaAME)) = (S_( DeltaBEC)+S_( DeltaEMB) )/(S_( DeltaAME)) = (S_( DeltaBEC))/(S_( DeltaAME)) + (S_( DeltaEMB))/(S_( DeltaAME)) (***)     $ bullet  , , ,$ Ta c&oacute;: MK////BH ( botAC)     Theo hệ quả định l&yacute; Thales, ta c&oacute;: (BH)/(MK) = (AB)/(AM) = 7/4    -> (S_( DeltaBEC))/(S_(DeltaAME)) = (1/2. BH.EC)/(1/2.MK.EA) = 7/4. 1/4 = 7/16    $ bullet  , , ,$ (S_( DeltaEMB))/(S_( DeltaAME)) = (MB)/(MA) = 3/4     Thay v&agrave;o (***), ta được:      (S_(BMEC))/(S_( DeltaAME)) =(S_( DeltaBEC))/(S_( DeltaAME)) + (S_( DeltaEMB))/(S_( DeltaAME)) =  7/16 + 3/4 = 19/16     Vậy: (S_(BMEC))/(S_( DeltaAME)) = 19/16