Toán Lớp 8: Cho các số thực x,y thỏa mãn `1/(x^2+4)+1/(y^2+4)=2/(xy+4)`. Tính gt của biểu thức `P=1/(x^2y^2+4)+4/(xy+4)`

Question

Toán Lớp 8:  Cho các số thực x,y thỏa mãn 1/(x^2+4)+1/(y^2+4)=2/(xy+4).  Tính gt của biểu thức P=1/(x^2y^2+4)+4/(xy+4)

landinhngoc97 · Answer

Quy đồng , đưa biểu thức về dạng Asina + Bcosa = CAsina + Bcosa = C . Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm , từ đó xác định M , mMm .

minhhaanh · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:

Đặt ẩn phụ $t = 2^{x^{2} + 4 y^{2}} (t \geq 1)$ , đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm $t$ .

– Tìm mối quan hệ giữa $x, y$ dạng ${(a x)}^{2} + {(b y)}^{2} = 1$ .

– Đặt ${\begin{cases} a x = \sin α \\ b y = \cos α \end{cases}$ , thế vào biểu thức $P$ .

– Quy đồng, đưa biểu thức về dạng $A \sin α + B \cos α = C$ . Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định $M, m$ .

Giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} 4^{x^{2} + 4 y^{2}} - 2^{x^{2} + 4 y^{2} + 1} = 2^{3 - x^{2} - 4 y^{2}} - 4^{2 - x^{2} - 4 y^{2}} \\ \Leftrightarrow {(2^{x^{2} + 4 y^{2}})}^{2} - {2.2}^{x^{2} + 4 y^{2}} = \frac{8}{2^{x^{2} + 4 y^{2}}} - \frac{16}{{(2^{x^{2} + 4 y^{2}})}^{2}} \end{array}$

Đặt $t = 2^{x^{2} + 4 y^{2}} (t \geq 1)$ , phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} t^{2} - 2 t = \frac{8}{t} - \frac{16}{t^{2}} \\ \Leftrightarrow t^{2} - 2 t = \frac{8 t - 16}{t^{2}} \\ \Rightarrow t^{3} (t - 2) = 8 (t - 2) \\ \Rightarrow (t^{3} - 8) (t - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow {(t - 2)}^{2} (t^{2} + 2 t + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow t = 2 (t m) (d o t^{2} + 2 t + 4 > 0 \forall t) \end{array}$

Với $2^{x^{2} + 4 y^{2}} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + 4 y^{2} = 1$ . Khi đó tồn tại $α$ sao cho ${\begin{cases} x = \sin α \\ 2 y = \cos α \end{cases}$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} P = \frac{x - 2 y - 1}{x + y + 4} = \frac{\sin α - \cos α - 1}{\sin α + \frac{1}{2} \cos α + 4} \\ \Leftrightarrow P \sin α + \frac{1}{2} P \cos α + 4 P = \sin α - \cos α - 1 \\ \Leftrightarrow (P - 1) \sin α + (\frac{1}{2} P + 1) \cos α = - 1 - 4 P (*) \end{array}$

Để $P$ tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(P - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2} P + 1)}^{2} \geq {(- 1 - 4 P)}^{2} \\ \Leftrightarrow P^{2} - 2 P + 1 + \frac{1}{4} P^{2} + P + 1 \geq 16 P^{2} + 8 P + 1 \\ \Leftrightarrow \frac{59}{4} P^{2} + 9 P - 1 \leq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{- 18 - 4 \sqrt{35}}{59} \leq P \leq \frac{- 18 + 4 \sqrt{35}}{59} \\ \Rightarrow {\begin{cases} M = \frac{- 18 + 4 \sqrt{35}}{59} \\ m = \frac{- 18 - 4 \sqrt{35}}{59} \end{cases} \Rightarrow M + m = - \frac{36}{59} \end{array}$