Toán Lớp 9: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)

Question

Toán Lớp 9: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c), hướng dẫn giải giúp em bài này ạ, em cảm ơn thầy cô và các bạn nhiều.

in progress 0
Hoàng Hà 35 phút 2022-06-19T06:42:20+00:00 2 Answers 0 views 0

TRẢ LỜI ( 2 )

  1. Giải đáp và giải thích các bước giải:
    Áp dụng BĐT cô-si ta có :
    (a+b)(b+c)≤[{(a+b)+(b+c)}/{2}]^2={(3+b)^2}/{4}
    (b+c)(c+a)≤[{(b+c)+(c+a)}/{2}]^2={(3+c)^2}/{4}
    (c+a)(a+b)≤[{(c+a)+(a+b)}/{2}]^2={(3+a)^2}/{4}
    ⇒ [(a+b)(b+c)(c+a)]^2≤[(3+a)(3+b)(3+c)]^2/{64}
    ⇒ [(a+b)(b+c)(c+a)]^{2}.64≤[(3+a)(3+b)(3+c)]^2
    ⇔ 8(a+b)(b+c)(c+a)≤(3+a)(3+b)(3+c)

  2. Giải đáp:
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
     8(a+b)(b+c)(c+a)<=(3+a)(3+b)(3+c)
    <=>8(a+b)(b+c)(c+a)<=(a+b+c+a)(a+b+c+b)(a+b+c+c)
    <=>8(a+b)(b+c)(c+a)<=[(a+b)+(a+c)][(b+a)+(b+c)][(c+a)+(c+b)]
    Đặt (a+b,b+c,c+a)=(x,y,z) (x,y,z>0)
    =>BĐT<=>8xyz<=(x+y)(y+z)(z+x)
    Do x,y,z>0 ,Áp dụng BĐT Co-si
    =>(x+y)(y+z)(z+x)>=2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz
    =>đpcm
    Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1

Leave an answer

Browse

12:2+4x4-12:2-5x3 = ? ( )