Toán Lớp 9: Bài 1: Cho x,y >0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}$ Bài 2: Cho a>1; b>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của b

Question

Toán Lớp 9: Bài 1:
Cho x,y >0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}$
Bài 2:
Cho a>1; b>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$, hướng dẫn giải giúp em bài này ạ, em cảm ơn thầy cô và các bạn nhiều.

in progress 0
Nhã Trúc 4 tuần 2022-06-11T19:28:54+00:00 1 Answer 0 views 0

TRẢ LỜI ( 1 )

  1. Giải đáp:
    1) A_{min}=6 khi x=y=1/2
    2) E_{min}=8 khi a=b=2 
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    1) 
    +) Chứng minh BĐT phụ:
     1/a+1/b\ge 4/{a+b}\ (a;b>0) (1)
    Áp dụng BĐT Cosi với 2 số dương a;b ta có:
    \qquad a+b\ge 2\sqrt{ab}
    =>(a+b)^2\ge 4ab 
    =>{(a+b)^2}/{(a+b)ab}\ge {4ab}/{(a+b)ab}
    =>{a+b}/{ab}\ge 4/{a+b}
    =>a/{ab}+b/{ab}\ge 4/{a+b}
    =>1/b+1/a\ge 4/{a+b}
    =>BĐT (1) được chứng minh
    $\\$
    +) Với x;y>0;x+y=1 ta có:
    A= 1/{x^2+y^2}+1/{xy}
    =1/{x^2+y^2}+2/{2xy}
    =(1/{x^2+y^2}+1/{2xy})+1/{2xy}
    Áp dụng BĐT (1)
    =>1/{x^2+y^2}+1/{2xy}
    \ge 4/{x^2+y^2+2xy}
    \ge 4/{(x+y)^2}= 4/{1^2}=4
    $\\$
    Áp dụng BĐT Cosi với x>0;y>0
    =>x+y\ge 2\sqrt{xy}
    =>(x+y)^2\ge 4xy
    =>xy\le {(x+y)^2}/4={1^2}/ 4=1/ 4
    =>2xy\le 1/ 2
    =>1/{2xy}\ge $\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$
    $\\$
    =>A=(1/{x^2+y^2}+1/{2xy})+1/{2xy}
    $\ge 4+2=6$
    Dấu “=” xảy ra khi:
    $\quad \begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}$=>x=y=1/ 2
    Vậy $GTNN$ của A bằng 6 khi x=y=1/ 2
    $\\$
    2) a>1;b>1
    =>\sqrt{a-1}>0;\sqrt{b-1}>0
    \qquad (\sqrt{a-1}-1)^2\ge 0 
    =>a-1-2\sqrt{a-1}+1\ge 0
    =>a\ge 2\sqrt{a-1}
    =>a/\sqrt{a-1}\ge {2\sqrt{a-1}}/\sqrt{a-1}
    =>a/\sqrt{a-1}\ge 2
    $\\$
    Tương tự chứng minh được: b/\sqrt{b-1}\ge 2
    Áp dụng BĐT Cosi với hai số dương ta có:
    E={a^2}/{b-1}+{b^2}/{a-1}
    \ge 2\sqrt{{a^2}/{b-1}. {b^2}/{a-1}}
    \ge 2. a/\sqrt{a-1} . b/\sqrt{b-1}
    \ge 2. \ 2 .\ 2=8
    Dấu “=” xảy ra khi:
    $\quad \begin{cases}(\sqrt{a-1}-1)^2=0\\(\sqrt{b-1}-1)^2=0\end{cases}$<=>$\begin{cases}\sqrt{a-1}=1\\\sqrt{b-1}=1\end{cases}$
    <=>$\begin{cases}a-1=1\\b-1=1\end{cases}$<=>$\begin{cases}a=2\\b=2\end{cases}$ (thỏa mãn)
    Vậy $GTNN$ của $E$ bằng 8 khi a=b=2

Leave an answer

Browse

12:2+4x4-12:2-5x3 = ? ( )