Toán Lớp 8: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A= 2x² -2xy+y²-4x-2y+2030

Question

Toán Lớp 8: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A= 2x² -2xy+y²-4x-2y+2030, hướng dẫn giải giúp em bài này ạ, em cảm ơn thầy cô và các bạn nhiều.

in progress 0
Bảo Châu 6 ngày 2022-06-17T04:10:57+00:00 2 Answers 0 views 0

TRẢ LỜI ( 2 )

  1. A = 2x^2 – 2xy + y^2 – 4x -2y +2030
    A = x^2 -2xy + y^2 – 6x + 2x – 2y + x^2 +2030
    A = ( x – y )^2 + 2 ( x – y ) + 1 + x^2 – 6x +9 + 2020
    A = ( x – y +1 )^2 + ( x – 3 )^2 +2020
    do ( x – y + 1 )^2 $\geq$ 0              ∀ x ; y
         ( x – 3 )^2 $\geq$ 0                     ∀ x
    ⇒ ( x – y + 1 )^2 + ( x – 3 )^2 $\geq$ 0                ∀ x ; y
    ⇒ A $\geq$ 2020              ∀ x ; y
    Đẳng thức xảy ra khi : $\left \{ {{x-y+1=0} \atop {x-3=0}} \right.$ 
                                    ⇔$\left \{ {{x-y=-1} \atop {x=3}} \right.$ 
                                    ⇔$\left \{ {{y=4} \atop {x=3}} \right.$ 
    ⇒A min = 2020
    vậy GTNN của A là 2020 khi :$\left \{ {{y=4} \atop {x=3}} \right.$

  2. Giải đáp:
    \(\min A = 2020 \Leftrightarrow (x;y) = (3;4)\) 
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    \(\begin{array}{l}
    A = 2x^2 -2xy+y^2-4x-2y+2030\\
    \to 2A = 4x^2 – 4xy + 2y^2 – 8x – 4y +4060\\
    \to 2A = (4x^2 – 4xy + y^2 -8x + 4y + 4) + (y^2 -8y + 16) + 4040\\
    \to 2A = (2x – y – 2)^2 + (y -4)^2 + 4040\\
    \to A = \dfrac12(2x-  y- 2)^2 + \dfrac12(y-4)^2 + 2020\\
    \text{Ta có:}\\
    \dfrac12(2x – y -2)^2 \geqslant 0\quad \forall x;y\\
    \dfrac12(y-4)^2 \geqslant 0\quad \forall y\\
    \text{Do đó:}\\
    \dfrac12(2x-  y- 2)^2 + \dfrac12(y-4)^2 + 2020\geqslant 2020\\
    \text{Hay}\ A \geqslant 2020\\
    \text{Dấu = xảy ra khi và chỉ khi}\ \begin{cases}2x – y – 2 =0\\y – 4=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}\\
    \text{Vậy}\ \min A = 2020 \Leftrightarrow (x;y) = (3;4)
    \end{array}\) 

Leave an answer

Browse

12:2+4x4-12:2-5x3 = ? ( )