Toán Lớp 8: Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định. M là một điểm di động trên đường chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC. Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
mn giúp mình nha
Comments ( 1 )
Gọi H=AD∩ FM, K=ME∩CD
Dễ dàng chứng minh được :
AHME là hình vuông
BEMF là hình chữ nhật
DHMK là hình chữ nhật
KMFC là hình vuông
Đặt AE=m, BE=n
-> AE=ME=HM=AH=BF=DK=m
Và BE=MF=CF=CK=MK=HD=n
->m,n>0
S_{\triangle ADE}=1/2 . AD . AE = 1/2 . a . m =(am)/2
S_{\triangle BEF}=1/2 . BE . BF = 1/2 . n .m =(mn)/2
S_{\triangle DFC}=1/2 . CD . CF = 1/2 . a . n = (an)/2
S_{ABCD}=a^2
-> S_{\triangle DEF}=a^2 – (am)/2 – (an)/2 – (mn)/2
->S_{\triangle DEF}=a^2 – 1/2 (am+an)-(mn)/2
->S_{\triangle DEF}=a^2 – a/2 (m+n)-(mn)/2
-> S_{\triangle DEF}=a^2 – a^2/2 – (mn)/2
->S_{\triangle DEF}=a^2/2 – (mn)/2
Do a luôn cố định ->a^2/2 cố định
Vậy để S_{\triangle DEF} nhỏ nhất
-> -(mn)/2 nhỏ nhất
->mn/2 lớn nhất
->mn lớn nhất
Thật vậy áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương m,n ta được :
m+n>= 2\sqrt{mn}
-> (m+n)^2>=4mn
-> mn\le(m+n)^2/4= a^2/4
-> -mn >= -a^2/4
-> S_{\triangle DEF}>= a^2/2 – a^2/4 . 1/2 = (3a^2)/8
Dấu “=” xảy ra khi : M là trung điểm của AC