Toán Lớp 10: Tìm GTLN của biểu thức M = $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}$ với a,b,c>0, a+b+c=1.
Leave a reply
About Quỳnh Ngân
Related Posts
Toán Lớp 5: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, nếu tăng chiều rộng 10m và giảm chiều dài 10m thì diện tích khu gườn tăng t
Toán Lớp 5: Bài 1.Một xưởng dệt được 732m vải hoa chiếm 91,5% tổng số vải xưởng đó đã dệt. Hỏi xưởng đó đã dệt được bao nhiêu mét vải? (0.5 Points)
Toán Lớp 8: a, 3x^3 – 6x^2 -6x +12 =0 b, 8x^3 -8x^2 – 4x + 1=0
Toán Lớp 5: Số nhỏ nhất trong các số đo khối lượng 1,512kg, 1,5kg, 1kg51dag, 15dag5g là
Toán Lớp 5: Số nhỏ nhất trong các số đo khối lượng 1,512kg, 1,5kg, 1kg51dag, 15dag5g là giúp mik với, gấp lm
Comments ( 1 )
Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacopxki
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
M^2 = (\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} + \sqrt{c + 1})^2
= (1.\sqrt{a + 1} + 1. \sqrt{b + 1} + 1. \sqrt{c + 1})^2 ≤ (1^2 + 1^2 + 1^2)[(\sqrt{a + 1})^2 + (\sqrt{b + 1})^2 + (\sqrt{c + 1})^2] = 3(a + 1 + b + 1 + c + 1) = 3(1 + 3) = 12
$\\$
Ta được: M^2 ≤ 12
⇔ M ≤ 2\sqrt{3}
Vậy GTLN của M là: 2\sqrt{3} khi: a = b = c = 1/3
Cách 2: Dùng BĐT Cô – si
Áp dụng BĐT Cô – si, ta có:
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.\sqrt{a + 1} <= \frac{(2/\sqrt{3})^2 + (\sqrt{a + 1})^2}{2} = $\dfrac{\dfrac{4}{3} + a + 1}{2}$ = $\dfrac{\dfrac{7}{3} + a}{2}$
$\\$
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.\sqrt{b + 1} <= \frac{(2/\sqrt{3})^2 + (\sqrt{b + 1})^2}{2} = $\dfrac{\dfrac{4}{3} + b + 1}{2}$ = $\dfrac{\dfrac{7}{3} + b}{2}$
$\\$
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.\sqrt{c + 1} <= \frac{(2/\sqrt{3})^2 + (\sqrt{c + 1})^2}{2} = $\dfrac{\dfrac{4}{3} + c + 1}{2}$ = $\dfrac{\dfrac{7}{3} + c }{2}$
⇒ $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.\sqrt{a + 1} + $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.\sqrt{b + 1} + $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.\sqrt{c + 1} ≤ $\dfrac{\dfrac{7}{3} + a}{2}$ + $\dfrac{\dfrac{7}{3} + b}{2}$ + $\dfrac{\dfrac{7}{3} + c}{2}$
⇔ $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.(\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} + \sqrt{c + 1}) ≤ $\dfrac{\dfrac{7}{3} + a}{2}$ + $\dfrac{\dfrac{7}{3} + b}{2}$ + $\dfrac{\dfrac{7}{3} + c}{2}$
$\\$
⇔ $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.M ≤ $\dfrac{\dfrac{7}{3} + a}{2}$ + $\dfrac{\dfrac{7}{3} + b}{2}$ + $\dfrac{\dfrac{7}{3} + c}{2}$ = $\dfrac{\dfrac{7}{3} + a + \dfrac{7}{3} + b + \dfrac{7}{3} + c}{2}$ = $\dfrac{\dfrac{7}{3} + \dfrac{7}{3} + \dfrac{7}{3} + 1}{2}$ = 4
$\\$
⇔ M ≤ $\dfrac{4}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}$ = 2\sqrt{3}
Vậy GTLN của M là: 2\sqrt{3} khi: a = b = c = 1/3